Pojem trojúhelníka:
Mějme dány tři různé body A, B, C, které neleží v jedné přímce. Množina bodů, které leží současně v polorovinách ABC, BCA, CAB, se nazývá trojúhelník ABC. Body A, B, C označujeme jako jeho vrcholy, úsečky AB (c), BC (a) a AC (b)jako jeho strany, úhly BAC (a), ABC (b), BAC (g) jako vnitřní úhly. Souhrnně tyto prvky nazýváme základními prvky trojúhelníka.
Množinu bodů trojúhelníka, které náleží jeho stranám, nazýváme obvodem trojúhelníka.
Klasifikace trojúhelníků podle stran: - různostranné
- rovnoramenné
- rovnostranné
Klasifikace trojúhelníků podle úhlů: - ostroúhlé
- pravoúhlé
- tupoúhlé
Vlastnosti trojúhelníka:
1. Součet dvou stran trojúhelníka je větší než jeho strana třetí.
2. Proti shodným stranám trojúhelníka leží shodné vnitřní úhly, proti větší straně trojúhelníka leží větší vnitřní úhel.
3. Součet vnitřních úhlů trojúhelníka je úhel přímý.
4. Ke každému vnitřnímu úhlu trojúhelníka existují dva shodné vedlejší uhly, které nazýváme vnějšími úhly trojúhelníka. Vnější úhel je roven součtu protějších úhlů vnitřních. a´ = b + g, takže součet vnějších úhlů je úhel plný.
5. Úsečka, jejímiž krajními body jsou středy dvou stran trojúhelníka, se nazývá střední příčka trojúhelníka. Každá střední příčka je rovnoběžná s jeho protější stranou a její velikost je rovna polovině velikosti této strany.
6. Úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníka a střed jeho protější strany, se nazývá těžnice trojúhelníka.Všechny tři těžnice se protínají v jediném bodě T zvaném těžiště. Vzdálenost těžiště od středu strany je rovna 1/3 velikosti těžnice.
7. Úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníka a pata kolmice vedené tímto vrcholem k jeho protější straně, se nazývá výška trojúhelníka.Všechny tři přímky, v nichž leží výšky, se protínají v jediném bodě V zvaném průsečík výšek neboli ortocentrum, které v ostroúhlém trojúhelníku leží uvnitř trojúhelníka, v pravoúhlém splývá s vrcholem pravého úhlu a v tupoúhlém leží vně trojúhelníka. Platí: va : vb : vc = 1/a : 1/b : 1/c
Shodnost trojúhelníků:
Dva trojúhelníky ABC a A´B´C´ se nazývají shodné trojúhelníky, jestliže je lze přemístit tak, že se úplně kryjí.
Dva trojúhelníky jsou shodné, jestliže se shodují: (věty o shodnosti trojúhelníků)
a) ve všech třech stranách (věta sss)
b) ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném (věta sus)
c) ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich (věta Ssu)
d) v jedné straně a ve dvou úhlech k ní přilehlých (věta usu)
Trojúhelník je určen (lze ho sestrojit ), jsou li dány: (věty o určenosti trojúhelníků)
a) tři jeho strany splňující trojúhelníkové nerovnosti
b) dvě strany a dutý vnitřní úhel, který ty strany svírají
c) dvě strany a dutý úhel proti větší z nich
d) jedna strana a dva duté úhly, jejichž součet je menší než úhel přímý
Podobnost trojúhelníků:
Dva trojúhelníky ABC a A´B´C´ se nazývají podobné, když jejich odpovídající si strany jsou úměrné. k = poměr podobnosti. k > 1 = zvětšení, 0 < k < 1 = zmenšení.
Pro libovolné k > 0 mají podobné trojúhelníky shodné vnitřní úhly.
Dva trojúhelníky jsou podobné: (věty o podobnosti trojúhelníků)
a) shodují-li se ve dvou úhlech (věta uu)
b) jsou-li rovny poměry dvou stran a shodné úhly jimi sevřené (věta sus)
c) jsou-li rovny poměry dvou stran a shodné úhly proti větším z nich (věta Ssu)
Věty vyplývající z podobnosti trojúhelníků:
1. Dva trojúhelníky jsou podobné, jsou-li jejich odpovídající si strany rovnoběžné, nebo navzájem kolmé.
2. Dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v jednom ostrém úhlu nebo v poměru dvou odpovídajících si stran.
3. Dva rovnoramenné trojúhelníky jsou podobné, shodují-li se v úhlu při základně nebo v úhlu při vrcholu.
4. Každé dva rovnostranné trojúhelníky jsou si podobné.
Důležité věty v trojúhelníku:
1. Eukleidova věta o výšce: Jsou-li v pravoúhlém trojúhelníku v velikost výšky, c1, c2 velikosti obou úseků přepony (tj. úseček, které na ní vytíná pata výšky), platí:
v2 = c1 . c2
2. Eukleidova věta o odvěsně: Jsou-li v pravoúhlém trojúhelníku a, b velikosti odvěsen, c velikost přepony, c1, c2 velikosti úseků přepony přilehlých k odvěsnám a, b, platí:
a2 = c . c1
b2 = c . c2
3. Pythagorova věta: Jsou-li a, b velikosti odvěsen, c velikost přepony pravoúhlého trojúhelníka, platí: c2 = a2 + b2
Obrácení Pythagorovy věty: Platí-li pro velikosti stran trojúhelníka vztah a + b = c , je tento trojúhelník pravoúhlý a c je jeho přepona.
4. Goniometrické funkce argumentu a (0 < a < 90 ):
sinus a je poměr protilehlé odvěsny k přeponě. sin a = a/c
kosinus a je poměr přilehlé odvěsny k přeponě. cos a = b/c
tangens a je poměr protilehlé odvěsny k přilehlé odvěsně. tg a = a/b
kotangens a je poměr přilehlé odvěsny k protilehlé odvěsně. cotg a = b/a
Řešení trojúhelníka trigonometricky
Úlohu určit z daných prvků trojúhelníka všechny ty jeho základní prvky, které nejsou dány, označujeme jako řešení trojúhelníka. Metody řešení trojúhelníků užitím goniometrických funkcí tvoří tzv. trigonometrii.
Základní trigonometrické věty:
1. Věta sinová: V libovolném trojúhelníku ABC platí: a : sina = b : sin b = c: sin g = 2r tj. poměr libovolné strany trojúhelníka a sinu protějšího úhlu je roven dvojnásobku poloměru kružnice opsané trojúhelníku.
a : b = sin a : sin b, b : c = sin b : sin g, c : a = sin g : sin a
tj. poměr dvou stran trojúhelníka se rovná poměru sinů protilehlých úhlů.
2. Věta kosinová: V libovolném trojúhelníku ABC platí:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
b2 = a2 + c2 - 2ac cos b
c2 = a2 + b2 - 2ab cos g
tj. druhá mocnina strany trojúhelníka je rovna součtu druhých mocnin zbývajících stran
zmenšenému o dvojnásobný součin těchto stran a kosinu úhlu jimi sevřeného.
Pythagorova věta a trigonometrické vzorce pro pravoúhlý trojúhelník jsou zvláštními případy sinové a kosinové věty pro g = 90.
3. Věta tangentová:
4. Vzorce pro goniometrické funkce polovin vnitřních úhlů trojúhelníka:
Příklad: Ze všech trojúhelníků s danou stranou a a daným úhlem a ležícím proti ní najděte trojúhelník s největším obvodem.
Řešení: Podle sinové věty a : sina = b : sin b = c: sin g, takže
Obvod:
Protože a > 0, sin a/2 > 0, je obvod největší, když sin (a/2 + b) = 1 čili když a/2 + b = 90, pak také a/2 + g = 90, takže b = g, tj. trojúhelník s největším obvodem je rovnoramenný.
Konstrukce užitím geometrických míst
V konstrukčních úlohách užívá středoškolská matematika eukleidovských konstrukcí složených ze sestrojování bodů, přímek a kružnic.
a) Bod se sestrojí tak, že zvolíme jeho polohu v rovině nebo jej určíme jako společný bod přímek nebo kružnic.
b) Přímka se sestrojí tak, že se určí dva její body.
c) Kružnice se sestrojí tak, že se určí její střed a poloměr.
Jsou dva druhy konstrukčních úloh:
a) Úlohy polohové: zde je určeno přesné umístění daných prvků.
b) Úlohy nepolohové: zde je poloha aspoň jednoho z daných prvků libovolně volitelná.
Postup řešení konstrukční úlohy:
1. fáze: rozbor
2. fáze: formulace konstrukčního předpisu (konstrukce)
3. fáze: zkouška (důkaz konstrukce)
4. fáze: diskuse (stanovení počtu řešení)
Příklad: Sestrojte trojúhelník, je-li dán úhel g, poloměr r kružnice opsané k1 a poloměr q kružnice vepsané k2.
Rozbor: Budiž S1 střed kružnice opsané k1, S2 střed kružnice vepsané k2. V kružnici k1 je úhel g = < ACB úhel obvodový, 2g = < AS1B úhel středový.Ten nám vymezuje stranu AB = c.
Střed vepsané kružnice leží v průsečíku os vnitřních úhlů. Proto < S2AB = a/2, < S2BA = b/2, takže < AS2B V = f = 180 – (a/2 + b/2) = 180 – (90 - g/2) = 90 + g/2. Proto bod S2 leží na geometrickém místě bodů, z nichž je vidět stranu AB pod zorným úhlem 90 + g/2. Tímto geometridkým místem jsou dva kruhové oblouky. Bod S2 leží na přímce m rovnoběžné se základnou AB ve vzdálenosti q. Tečny AT1 a BT2 sestrojené z vrcholů A a B ke kružnici k2 se protnou ve vrcholu C.
V důkazu konstrukce prokážeme, že polopřímky AT1 a BT2 mají vždy společný bod. Je to proto že součet < T1AB + < T2BA je úhel dutý, neboť < T1AB = 2. < S2AB, < T2BA = 2.
< S2BA, takže < S2AB + < S2BA = 180 - < A S2B = 180 – (90 + g/2) = 90 - g/2, a tedy
< T1AB + < T2AB = 180 - g, což je úhel dutý.
Úloha nemá řešení, když je q tak velké, že přímka m nemá s obloukem o žádný společný bod. Z trojúhelníka ABS1 plyne, že AB = 2r . sin g. Výška oblouku o nad tětivou AB je v = AB/2 . cotg f/2 = r . sin g . cotg (45 + g/4). Úloha tedy nemá řešení když q > r . sin g . cotg (45 + g/4).
Řešení trojúhelníka analyticky
Analytická geometrie aplikuje metodu souřadnic, která vyjadřuje geometrické útvary pomocí vztahů mezi souřadnicemi.Využívá pravoúhlé soustavy souřadnic s počátkem v bodě 0 a osami x a y.
Bod se zadává uspořádanou dvojicí reálných čísel, tzv. pravoúhlých souřadnic bodu.
Vektor je množina všech souhlasně orientovaných stejně velkých úseček.
Rovnice přímky: - směrnicový tvar rovnice přímky: y = kx + q, k = tg f - směrnice přímky
- obecný tvar rovnice přímky: ax + by + c = 0
- parametrické rovnice přímky: X = X1 + tu, kde t náleží R
Směrový vektor přímky: každý nenulový vektor rovnoběžný s danou přímkou.
Dvě přímky jsou navzájem kolmé, pokud: - k1 . k2 = -1: součin jejich směrnic je roven -1
- u . v = 0: jsou si navzájem kolmé jejich směrové
vektory
Příklad: V trojúhelníku ABC jsou dány vrcholy A[-2,-4], B[4,-2] a průsečík výšek V[2,-1]. Určete souřadnice vrcholu C.
Řešení: Úloha má řešení, protože daný bod V neleží v přímce AB. Vrchol C určíme jako průsečík stran a, b trojúhelníka, které leží na kolmicích k výškám va = AV, vb = BV. Rovnice přímek BC, AC v nichž leží strany trojúhelníka, lze určit dvěma způsoby.
1. Protože body A, V mají různé x-ové souřadnice, má výška va směrnici
a proto přímka BC ( určená bodem B a směrnicí ) má rovnici
čili .
Protože body B, V mají různé x-ové souřadnice, můžeme obdobně určit i rovnici přímky AC. Vychází: y + 4 = 2 . (x + 2) čili 2x – y = 0
Řešením soustavy rovnic přímek BC, AC dostáváme C[1,2].
2. Přímka BC má směrový vektor u1, který je kolmý k vektoru v1 = AV = V – A: (4,3). Vektor u1 má tedy souřadnice (-3,4). Parametrické rovnice přímky BC, určené bodem B a směrovým vektorem u1 jsou
x = 4 – 3t, y = -2 + 4t, kde t náleží R.
Obdobně určíme souřadnice směrového vektoru u2 přímky AC kolmého k vektoru v2 = BV = V – B a odtud parametrické rovnice přímky AC:
x = -2 + s, y = -4 + 2s, kde s náleží R.
Řešením soustavy parametrických rovnic přímek BC, AC dostáváme parametry průsečíku
s = 3, t = 1 a odtud opět C[1,2].
Maturita.cz - referát (verze pro snadný tisk)
http://www.maturita.cz/referaty/referat.asp?id=3730